Intérêts Composés

🚧 This post is under construction 🚧

TL;DR

Ne pas oublier les frais composés

Introduction
La formule
Dérivation partielle
Elasticité
Conclusion
Webliography

Introduction

Lorem…

intérêts composés
frais composés

La formule

\[V_n = V_0 * (1 + 5\%)^n\] \[\begin{align*} \textrm{Montant final} &= \textrm{Montant initial} * (1 + 5\%)^n \\ \textrm{Gain} &= \textrm{Montant final} - \textrm{Montant initial} \\ \textrm{Gain} &= \textrm{Montant initial} * (1 + 5\%)^n - \textrm{Montant initial} \\ G &= M * (1 + 5\%)^n - M \\ G &= M * (1 + 5\%)^n - M \\ G &= M [(1 + 5\%)^n - 1] \end{align*}\]

Dérivation partielle

Avec :

\[G = M \left[ (1+r)^n - 1 \right]\]

où \(M\) est la mise initiale, \(r\) le rendement annuel et \(n\) le nombre d’années, les trois dérivées partielles sont :

Montant :

\[\frac{\partial G}{\partial M} = (1+r)^n - 1\]

Taux :

\[\frac{\partial G}{\partial r} = M \, n \, (1+r)^{n-1}\]

Durée :

\[\frac{\partial G}{\partial n} = M \, (1+r)^n \ln(1+r)\]

Exemple chiffré : \(M = 10\,000\ \text{€}\), \(r = 7\ \%\), \(n = 20\) ans, soit un gain \(G \approx 28\,700\ \text{€}\).

\(+1\ \text{€}\) investi rapporte \(\approx 2{,}87\ \text{€}\) de gain en plus.
\(+1\) point de rendement (\(7\ \% \rightarrow 8\ \%\)) rapporte \(\approx +7\,200\ \text{€}\) (\(+7\,900\ \text{€}\) en calcul exact).
\(+1\) année rapporte \(\approx +2\,600\ \text{€}\) (\(+2\,830\ \text{€}\) en calcul exact).

Ces dérivées ont des unités différentes (€, %, années), donc on ne peut pas les comparer telles quelles. Pour savoir quel levier est le plus puissant, il faut raisonner en élasticités, c’est-à-dire en effet relatif : « +1 % sur le paramètre donne combien de % de gain ? »

\[E_x = \frac{\partial G}{\partial x} \cdot \frac{x}{G}\]

Montant : \(E_M = 1\). C’est proportionnel, ni plus ni moins.
Taux :

\[E_r = \frac{n \, r \, (1+r)^{n-1}}{(1+r)^n - 1} \approx 1{,}76\]

Durée :

\[E_n = \frac{n \, (1+r)^n \ln(1+r)}{(1+r)^n - 1} \approx 1{,}82\]

Ce qu’il faut en retenir :

La durée et le taux sont des leviers « super-linéaires », et leur élasticité grandit avec \(n\). À 40 ans, elle dépasse 3. Commencer tôt et ne pas vendre est donc le meilleur levier.
Le taux, on le subit en grande partie, sauf sur un point : les frais. Ils se soustraient directement à \(r\). Passer de \(0{,}8\ \%\) à \(0{,}2\ \%\) de frais revient à gagner \(+0{,}6\) point de rendement, soit environ \(+4\,000\ \text{€}\) dans l’exemple, sans prendre aucun risque supplémentaire.
Le montant est le levier le plus prévisible, mais seulement linéaire. En pratique, des versements réguliers combinent montant et durée.

Une précision : \(r\) doit être le rendement géométrique moyen (le CAGR), pas la moyenne arithmétique des rendements annuels. Avec la volatilité, la moyenne arithmétique surestime le résultat.

The Setup

Elasticité

Oui. Le point clé, c’est que \(1{,}76\) ne correspond pas à « +1 point de taux » (de \(7\ \%\) à \(8\ \%\)). Il correspond à « +1 % du taux », c’est-à-dire de \(7\ \%\) à \(7{,}07\ \%\). C’est une variation relative.

1. La définition de l’élasticité

L’élasticité du gain \(G\) par rapport au taux \(r\) est :

\[E = \frac{\text{variation relative de } G}{\text{variation relative de } r} = \frac{\partial G}{\partial r} \cdot \frac{r}{G}\]

Elle répond à la question : « si \(r\) augmente de 1 % de sa valeur, de combien de % augmente \(G\) ? »

2. On remplace par les formules

\[G = M \left[ (1+r)^n - 1 \right]\] \[\frac{\partial G}{\partial r} = M \, n \, (1+r)^{n-1}\]

Donc :

\[E = \frac{M \, n \, (1+r)^{n-1} \cdot r}{M \left[ (1+r)^n - 1 \right]}\]

Le \(M\) disparaît (il est en haut et en bas), ce qui donne :

\[\boxed{E = \frac{n \, r \, (1+r)^{n-1}}{(1+r)^n - 1}}\]

3. Application numérique (\(n = 20\), \(r = 0{,}07\))

\[(1{,}07)^{19} \approx 3{,}6165\] \[(1{,}07)^{20} \approx 3{,}8697\]

Numérateur :

\[20 \times 0{,}07 \times 3{,}6165 = 1{,}4 \times 3{,}6165 \approx 5{,}063\]

Dénominateur :

\[3{,}8697 - 1 \approx 2{,}870\]

D’où :

\[E = \frac{5{,}063}{2{,}870} \approx 1{,}76\]

4. Vérification « à la main »

On prend un taux de \(7\ \% \times 1{,}01 = 7{,}07\ \%\), avec \(M = 10\,000\ \text{€}\) et \(n = 20\) :

À \(7\ \%\) : \(G = 10\,000 \times (3{,}8697 - 1) \approx 28\,697\ \text{€}\)
À \(7{,}07\ \%\) : \((1{,}0707)^{20} \approx 3{,}9207\), donc \(G \approx 29\,207\ \text{€}\)

Le gain augmente de \(510\ \text{€}\). Rapporté à \(28\,697\ \text{€}\), cela fait :

\[\frac{510}{28\,697} \approx +1{,}78\ \%\]

C’est bien environ \(1{,}76\) fois la hausse de 1 % du taux. Le petit écart vient du fait que la dérivée est une approximation linéaire.

5. Et pour +1 point (\(7\ \% \rightarrow 8\ \%\)) ?

Dans ce cas, le taux augmente de \(\frac{1}{7} \approx +14{,}3\ \%\) en relatif. Le gain passe de \(28\,697\ \text{€}\) à \(36\,610\ \text{€}\), soit \(+27{,}6\ \%\). Le rapport :

\[\frac{27{,}6}{14{,}3} \approx 1{,}93\]

est un peu plus élevé que \(1{,}76\), parce que la courbe s’accentue quand \(r\) augmente.

Conclusion