Moins par moins égale plus

Introduction

Il n'est généralement pas très difficile d'expliquer pourquoi, lorsqu'on multiplie deux nombres positifs le résultat est positif. En revanche, se rappeler comment expliquer "moins par moins égale plus" est généralement plus "touchy". Je vais donc prendre 2 minutes pour faire le point.

Prérequis

Premier prérequis : -1 x 0 = 0

Vérifions tout d'abord que nous sommes d'accord sur le fait que 3 x 2 = 6

Cela n'a l'air de rien mais quand je dis cela, je veux juste être sûr qu'on comprend tous que :

3 x ♥ = ♥ + ♥ + ♥

Ce que je veux dire c'est que le 3 dans le membre de gauche précédent est un facteur de mise à l'échelle (un scalaire, il faut penser à "scale", mise à l'échelle en Anglais) et que le ♥ hé bien c'est un... Un cœur. Il en serait de même si on avait compté des bananes, des vaches ou tout autre objet. Autrement dit quand on annonce 3 x ♥, c'est en fait une façon condensée de dire ♥ + ♥ + ♥.

Là où ça demande un tout petit peu d'attention c'est quand on dit un truc du style 3 x 2. En fait, ce que l'on veut dire c'est qu'on a sous la main des trucs (ils se trouve que se sont des deux) et qu'on en a 3. Afin d'être concis on ne dit pas 2 + 2 + 2 mais plutôt 3 x 2. Un peu comme dans un jeu de cartes quand on annonce "tiens, j'ai deux dames".

Avançons d'un cran et vérifions que 3 x 0 = 0

En effet, en appliquant le même principe que précédemment, 3 x 0 c'est 0 + 0 + 0 ce qui vaut encore 0

Pour ce qui nous intéresse, on retiendra que ce qui est vrai pour 3 l'est aussi pour tout autre scalaire et entre autres pour -1

On a donc -1 x 0 = 0

Si jamais le -1 pose problème, il n'y a qu'à inverser les rôles dans l'égalité précédente et dire que l'on a zéro objet de type -1. Autrement dit on a, rien, zéro, nada.

Second prérequis : -1 x 1 = -1

Maintenant vérifions que nous sommes d'accord sur le fait que

5 x (-4) = -20

En effet, compte tenu de ce que l'on a dit dans le premier prérequis, 5 x (-4) c'est (-4) + (-4) + (-4)  + (-4) + (-4) ce qui vaut -4 - 4 -4 -4 -4 soit -20

Pour ce qui nous intéresse, on retiendra que ce qui est vrai pour 5 et -4 l'est aussi pour 1 et -1

Autrement dit -1 x 1 = -1

Moins par moins égale plus

Ayé, on est équipé, on peut y aller et pour cela on part de : -1 x 0 = 0

Ce qui peut s'écrire de la façon suivante : -1 x (1-1) =0

On distribue le -1 sur le contenu de la parenthèse et il vient : (-1) x 1 + (-1) x (-1) =0

On a vu que (-1) x 1 = -1 et on sait que le résultat de la ligne vaut 0.

Autrement dit, on n'a pas le choix, (-1)*(-1) est l'opposé de -1. Bref (-1) x (-1) vaut 1

Ce qui est vrai pour -1 et 1 l'est aussi pour n'importe quel autre couple de nombres de signe opposés.

On a bien, moins par moins égale plus.

PS :

Pour prouver que (-4) x (-5) = 20 on suit le raisonnement suivant

(-4) x (0) = 0

(-4) x (5 - 5) = 0

(-4) x 5 + (-4) x (-5) = 0

-20 + (-4) x (-5) = 0

(-4) x (-5) = 20

Démonstrations sur YouTube

Sinon Ford Coppola a réalisé un excellent film sur le sujet. Vous allez voir, les effets spéciaux et les décors sont à couper le souffle et l'intrigue est insoutenable...