Moins par moins égale plus

Introduction

Il n’est généralement pas très difficile d’expliquer pourquoi, lorsqu’on multiplie deux nombres positifs le résultat est positif. En revanche, se rappeler comment expliquer « moins par moins égale plus » est généralement plus « touchy ». Je vais donc prendre 2 minutes pour faire le point.

Prérequis

Premier prérequis : -1 x 0 = 0

Vérifions tout d’abord que nous sommes d’accord sur le fait que 3 x 2 = 6

Cela n’a l’air de rien mais quand je dis cela, je veux juste être sûr qu’on comprend tous que :

3 x ♥ = ♥ + ♥ + ♥

Ce que je veux dire c’est que le 3 dans le membre de gauche précédent est un facteur de mise à l’échelle (un scalaire, il faut penser à « scale », mise à l’échelle en Anglais) et que le ♥ hé bien c’est un… Un cœur. Il en serait de même si on avait compté des bananes, des vaches ou tout autre objet. Autrement dit quand on annonce 3 x ♥, c’est en fait une façon condensée de dire ♥ + ♥ + ♥.

Là où ça demande un tout petit peu d’attention c’est quand on dit un truc du style 3 x 2. En fait, ce que l’on veut dire c’est qu’on a sous la main des trucs (ils se trouve que se sont des deux) et qu’on en a 3. Afin d’être concis on ne dit pas 2 + 2 + 2 mais plutôt 3 x 2. Un peu comme dans un jeu de cartes quand on annonce « tiens, j’ai deux dames ».

Avançons d’un cran et vérifions que 3 x 0 = 0

En effet, en appliquant le même principe que précédemment, 3 x 0 c’est 0 + 0 + 0 ce qui vaut encore 0

Pour ce qui nous intéresse, on retiendra que ce qui est vrai pour 3 l’est aussi pour tout autre scalaire et entre autres pour -1

On a donc -1 x 0 = 0

Si jamais le -1 pose problème, il n’y a qu’à inverser les rôles dans l’égalité précédente et dire que l’on a zéro objet de type -1. Autrement dit on a, rien, zéro, nada.

Second prérequis : -1 x 1 = -1

Maintenant vérifions que nous sommes d’accord sur le fait que

5 x (-4) = -20

En effet, compte tenu de ce que l’on a dit dans le premier prérequis, 5 x (-4) c’est (-4) + (-4) + (-4)  + (-4) + (-4) ce qui vaut -4 – 4 -4 -4 -4 soit -20

Pour ce qui nous intéresse, on retiendra que ce qui est vrai pour 5 et -4 l’est aussi pour 1 et -1

Autrement dit -1 x 1 = -1

Moins par moins égale plus

Ayé, on est équipé, on peut y aller et pour cela on part de : -1 x 0 = 0

Ce qui peut s’écrire de la façon suivante : -1 x (1-1) =0

On distribue le -1 sur le contenu de la parenthèse et il vient : (-1) x 1 + (-1) x (-1) =0

On a vu que (-1) x 1 = -1 et on sait que le résultat de la ligne vaut 0.

Autrement dit, on n’a pas le choix, (-1)*(-1) est l’opposé de -1. Bref (-1) x (-1) vaut 1

Ce qui est vrai pour -1 et 1 l’est aussi pour n’importe quel autre couple de nombres de signe opposés.

On a bien, moins par moins égale plus.

PS :

Pour prouver que (-4) x (-5) = 20 on suit le raisonnement suivant

(-4) x (0) = 0

(-4) x (5 – 5) = 0

(-4) x 5 + (-4) x (-5) = 0

-20 + (-4) x (-5) = 0

(-4) x (-5) = 20

Démonstrations sur YouTube

Sinon Ford Coppola a réalisé un excellent film sur le sujet. Vous allez voir, les effets spéciaux et les décors sont à couper le souffle et l’intrigue est insoutenable…