Les équations de Bernoulli, résolution et mise en œuvre

Introduction

Les équations de Bernoulli sont des équations différentielles du premier ordre un peu particulières. Dans un précédent article on a vu que les équations différentielles du premier ordre pouvaient s’écrire sous la forme :

y prime + p(x)y = q(x)

Avec les mêmes notations, les équations de Bernoulli vont s’écrire :

y prime + p(x)y = q(x)y^{n}

Principe de résolution

Le décor étant planté, on va tout faire pour se ramener à une équation différentielle du premier ordre « classique ». On le voit bien, on n’a pas 36 solutions, faut au moins qu’on commence par diviser à droite et à gauche par yn. Ensuite arrivera ce qui arrivera et on verra bien… Allez on y va :

y prime + p(x)y = q(x)y^{n}

{y prime}/{y^{n}} + {p(x)y}/{y^{n}} = q(x)

{y prime}/{y^{n}} + {p(x)}/{y^{n-1}} = q(x)

Halte au feu ! On lève la tête et on réfléchit. Ayé, vous avez-vu ? On y est presque… Oui, bravo ! En effet, l’équation ci-dessus ressemble presque à ce que l’on veut. On a juste un petit problème de notation. Allez, on va faire un essai et on pose :

u = 1/{y^{n-1}}

Vu que dans la suite on va avoir besoin de remplacer y’, différentions l’expression ci-dessus

u = 1/{y^{n-1}}

u = y^{1-n}

du = (1-n)y^{-n}dy

dy = y^{n}/{(1-n)}du

En utilisant : u prime = du/dx

On ré-écrit notre équation

{y prime}/{y^{n}} + {p(x)}/{y^{n-1}} = q(x)

{dy}/{dx y^{n}} + {p(x)}/{y^{n-1}} = q(x)

{y^{n}/{(1-n)}du}/{dx y^{n}} + {p(x)}/{y^{n-1}} = q(x)

{du}/{dx (1-n)} + u p(x) = q(x)

{u prime}/{(1-n)} + u p(x) = q(x)

{u prime} + (1-n) u p(x) = (1-n) q(x)

Bon, ben voilà, on s’est ramené à une équation du premier ordre sous sa forme linéaire standard. On est maintenant en terre connue. On peut appliquer la méthode en 4 points dont on a déjà discuté. Faudra juste penser à ne pas oublier le changement de variable qu’on a fait en cours de route.

Exemple

On souhaite résoudre l’équation suivante : y prime + y/x = y^{3}

On divise à gauche et à droite par y3

{y prime}/{y^{3}} + 1/y^{2} 1/x  = 1

On pose

u = 1/y^{2}

u = y^{-2}

On différencie et on détermine dy

du = -2y^{-3}dy

dy = du/{-2}y^{3}

On réécrit l’équation

{y prime}/{y^{3}} + 1/y^{2} 1/x  = 1

dy/{dx y^{3}} + 1/y^{2} 1/x  = 1

{du y^{3}}/{-2 dx y^{3}} + u {1}/{x}  = 1

{du}/{-2dx} + u {1}/{x}  = 1

Au final on se retrouve avec une équation sous la forme standard linéaire qui est l’étape 1 de la méthode en 4 points

du/dx - {2}/{x} u  = -2

Calcul du facteur d’intégration en intégrant le coef. de u

Le coefficient de u c’est - {2}/{x}

On cherche donc à intégrer int{}{}{- {2}/{x} dx}

{-2} int{}{}{1/{x} dx}

-2 ln(x)

Le facteur d’intégration est donc e^{-2 ln(x)}=(e^{ln(x)})^{-2}=x^{-2}

On multiplie par le facteur d’intégration l’équation initiale

du/dx - {2}/{x} u  = -2

{du/dx} x^{-2} - {2}/{x} u x^{-2} = -2 x^{-2}

{du/dx} {1/x^{2}} - {2}/{x^{3}}u = {-2}/{ x^{2}}

On vérifie bien que

(u{1/x^{2}})prime = {du/dx} {1/x^{2}} - {2}/{x^{3}}u

On a donc

(u{1/x^{2}})prime = {-2}/{ x^{2}}

On intègre l’équation précédente

u{1/x^{2}}= int{}{}{{-2}/{ x^{2}}dx} + K

u{1/x^{2}}= {2}int{}{}{{-1}/{ x^{2}}dx} + K

u{1/x^{2}}= {2}{1}/{ x} + K

u= 2x + Kx^{2}

N’oublions pas le changement de variable que nous avions effectué un peu plus haut

u = 1/y^{2}

y^{2} = 1/u

y^{2} = 1/{2x + Kx^{2}}

y = {pm} 1/{sqrt{2x + Kx^{2}}}

Exemple d’application pratique

Pour être clair j’ai pas mal cherché sur le web et dans divers bouquins mais je n’ai pas réussi à trouver un truc bien cool où par exemple une des forces appliquées à un mobile en mouvement à la vitesse v serait du style :

F = lambda_1v + lambda_2v^{2}

Quoiqu’il en soit lorsqu’on étudie les modèles d’évolution de populations, le modèle de Verhulst va nous permettre de mettre en application ce que l’on vient d’apprendre. Dans ce modèle, une variable suit le modèle suivant :

dP/dt  = rP(1 - P/K)

Dans l’équation ci-dessus r est le taux de croissance maximum et K est la capacité limite. Oublions P et utilisons y de manière « classique »

{dy/dt}= ry(1-y/K)

{dy/dt}= ry - {r/K} y^{2}

{dy/dt} - ry = - {r/K} y^{2}

Maintenant on divise par y carré

dy/dt 1/y^{2} - r/y = -r/K

On pose u = 1/y

On a donc du = {-1}/y^{2} dy

Soit dy = -du * y^{2}

Avec le changement de variable, l’équation devient

-y^{2} {du/dt} 1/y^{2} - ru = -r/K

-du/dt - ru = -r/K

du/dt + ru = r/K

On résout cette équation avec la méthode en quatre points (facteur d’intégration)

L’équation est déjà écrite sous sa forme standard linéaire. On intègre le facteur de u pour trouver le facteur d’intégration. On doit donc calculer

int{}{}{rdt} = rt

Le facteur d’intégration est donc e^{rt}

On multiplie l’équation par le facteur d’intégration

du/dt + ru = r/K

du/dt e^{rt} + rue^{rt} = {r/K}e^{rt}

On reconnait (ue^{rt})prime = {r/K}e^{rt}

On intègre

int{}{}{(ue^{rt})prime} = int{}{}{{r/K}e^{rt}} + C

ue^{rt} = {r/K}{1/r}e^{rt} + C

ue^{rt} = {1/K}e^{rt} + C

u = {1/K} + Ce^{-rt}

On a presque terminé. Faut juste qu’on n’oublie pas le changement de variable qu’on a effectué : u = 1/h

L’équation devient donc

1/y = {1/K} + Ce^{-rt}

y = {1}/{({1/K} + Ce^{-rt})}

y = {K}/{(1 + C_1e^{-rt})}

A t=0 on a y=yo. On peut donc déterminer C

yo = {K}/{(1 + C_1)}

(1 + C_1) = K/yo

C_1 = {K/yo} -1

Au final y(t) vaut :

y = {K}/{(1 + ({K/yo} -1)e^{-rt})}

Application numérique :

Si on s’amuse à poser K=4, r=1.5 et à faire varier yo de 0.5 à 5.5 voilà le réseaux de courbes obtenu sous Excel

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