Quelle est la distance la plus courte entre deux points

Distance la plus courte entre 2 points

Introduction

Dans un plan, quelle est la distance la plus courte entre 2 points ? La question, peut paraître un peu « naïve ». En effet, « tout le monde sait bien » que « la distance la plus courte entre 2 points c’est la ligne droite ».

OK, mais est-ce que tout le monde est capable de le prouver ?

Principe de moindre action

Ça, c’est une question vraiment pertinente. Y répondre va nous permettre d’aborder le Principe de Moindre Action. Si vous n’avez aucune idée de ce dont il s’agit ne tournez pas les talons. En effet, ce principe est suffisamment général et important pour que vous y consacriez un peu de votre temps.

Sachez qu’il permet d’expliquer, sans utiliser la seconde loi de Newton, les trajectoires paraboliques des boulets de canon. Moi, franchement c’est le truc qui a déclenché mon intérêt. Je trouve extraordinaire, formidable… De partir de rien (pas de lois physiques, pas de règle, pas de dieu…) et de retrouver le résultat de Newton. C’est bluffant!

Un autre exemple ? Ce principe permet d’expliquer la forme des cordes pesantes (voir cette page pour une autre explication du phénomène). Deux derniers exemples pour la route ? Il explique la forme des bulles de savon et l’équation d’onde.

C’est simple, dès qu’il faut optimiser, affiner, améliorer les choses le principe de moindre action vient à notre rescousse. Un must je vous dis. Ce qu’il y a de formidable c’est que non seulement il s’applique quasiment partout mais en plus l’approche est toujours la même : à l’instar de ce qui se passe dans la nature on essaie de trouver toutes les solutions possibles puis, on filtre et on ne garde que celle qui optimise le paramètre désiré (distance, vitesse, tension de surface…)

L’article au format pdf

Ici on va faire simple et on va se limiter à la recherche de la distance la plus courte entre 2 points. Dans les explications je suppose que le niveau du lecteur se situe aux alentours de la terminale et qu’il se rappelle à quoi correspondent intégrales et dérivées. Je prends le temps d’expliquer les choses et il sera question de dérivée, de dérivée partielle, d’intégration, d’intégration par partie etc. L’air de rien, on en profitera aussi pour retrouver l’équation d’Euler-Lagrange.

Bonne lecture de l'article....

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