Les équations de Bernoulli, résolution et mise en œuvre


Introduction

Les équations de Bernoulli sont des équations différentielles du premier ordre un peu particulières. Dans un précédent article on a vu que les équations différentielles du premier ordre pouvaient s'écrire sous la forme :

\(y ^{\prime} + p(x)y = q(x)\)

Avec les mêmes notations, les équations de Bernoulli vont s'écrire :

\(y ^{\prime} + p(x)y = q(x)y^{n}\)

Principe de résolution

Le décor étant planté, on va tout faire pour se ramener à une équation différentielle du premier ordre "classique". On le voit bien, on n'a pas 36 solutions, faut au moins qu'on commence par diviser à droite et ...

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Equation de la chaînette - explications étape par étape

Equation de la chaînette

Introduction

L'autre jour en rentrant de Dunkerque, sur l'autoroute, alors que tout le monde dormait dans la voiture, j'ai, je ne sais pas pourquoi, commencé à regarder les pylônes électriques. Entre autres, je me suis demandé qu'elle était la courbe décrite par le fil électrique mais aussi et surtout quel était le paramètre qui était minimisé. De retour à la maison, un tour sur Google et zou, j'avais la réponse : équation de la chaînette. Cela dit, afin de retenir et de comprendre un peu mieux j'ai commencé à gribouiller sur le papier. Vous trouverez ci-dessous mes explications et ...

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Equation différentielle du 1er ordre, méthode et exemples


Introduction

Résoudre une équation différentielle... Ça peut en laisser certains rêveurs. J'ai découvert (retenu et compris j'espère) cette méthode sur un site US. Comme je l'ai trouvé simple et efficace j'ai décidé de la retranscrire ici à travers différents exemples.

La méthode en 4 points

1 - On écrit l'équation différentielle sous sa forme linéaire standard \(y^{\prime}+ p(x)y = q(x)\)

Le but du jeu consiste à avoir 1 comme facteur de y'. Notons aussi que p(x) et q(x) peuvent être des fonctions de x. À part ça, rien de très tordu.

2 - On détermine ensuite le facteur d'intégration ...

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Onde stationnaire et onde progressive a une dimension


Onde stationnaire

C'est une onde de la forme :

\(y = Asin(kx)\)

ou

\(y = Acos(kx)\)

Cette onde ne se déplace pas. Par exemple ses maximums et ses minimums restent à la même place. Pensez à une corde de guitare que vous pincez. Les 2 extrémités sont fixes. Ci-dessous une illustration que l'on trouve sur Wikipedia

Ici "A" est simplement l'amplitude maximum. Dans la suite je la pose égale à 1. La question qui se pose maintenant, c'est : "Oui mais k c'est quoi?"

On appelle longueur d'onde λ la distance entre 2 points identiques successifs sur l'onde. Par exemple, prenez ...

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Périmètre infini et surface finie - Flocon de Koch

Je suis tombé là-dessus par hasard dans le bouquin de maths de ma fille. On demandait de déterminer le surface limite du flocon de Koch. Je me suis pris au jeu et je mets noir sur blanc mon raisonnement.

On part d'un triangle équilatéral de côté 'x'. Pour rappel, la surface du triangle est donnée part :

\(S = \frac{bh}{2}\) où b est la base et h la hauteur.

Ensuite pour retrouver la hauteur h on peut faire :

\(x^2 = h^2 +(x/2)^2\) \(h^2 = x^2 - x^2/4\) \(h^2 = (3/4) x^2\) \(h = x \frac{\sqrt{3}}{2}\)

Ensuite on repart ...

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Dérivée et différentielle

Je vais essayer de mettre noir sur blanc ce que je crois avoir compris à propos de ces histoires de dérivées et de différentielles. Si vous êtes prof de maths... Eh bien, comme le dirait Gand Alf dans le Seigneur des Anneaux : "Fuyez pauvres fous !". En effet, je n'ai pas du tout l'intention d'être rigoureux. En fait, je voudrais juste m'assurer d'être suffisamment clair pour qu'après avoir lu cet article on puisse "sentir" les choses, faire un ou deux exos de base puis relire un cours plus formel avec beaucoup plus d'intérêt.

Bon, allez, c'est parti... On ...

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Dipôle électrique : études et représentations graphiques

dipôle électrique

Afin de "m'amuser" avec Grapher sous Mac OS je suis revenu sur ces histoires de dipôle électrique. Je vais mettre noir sur blanc ce que j'ai fait puis les 2 ou 3 captures issues de l'excellent Grapher.

A propos de Grapher : Pour être clair, le produit est vraiment super mais la documentation est... comment dire... À chier, je crois qu'il n'y a pas d'autres mots. C'est franchement incompréhensible. Une seule solution... Google. Pour l'instant j'ai repéré 2 sources qui tiennent la route :

  • http://y.barois.free.fr/grapher/Bienvenue.html
  • http://theputterer.wordpress.com/2011/04/02/mac-os-x-grapher-using-parameters/
  • Pour le reste c'est un peu le désert... Ah oui j'allais oublier, Grapher vient ...

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